1) निष्कर्षों का status: x1 vs x2, OLD vs NEW_v2

- x1: हर सिस्टम/होराइज़न पर z>4 (सिवाय NEW_v2-60din पर भी 0.88 है, पर OLD में बहुत strong), यानी “established-strong predictor” मानना बिल्कुल ठीक है।

- x2 (OLD): तीनों OLD horizons में |z|<2 → classical अर्थ में “consistently non-significant / weak”।

- x2 (NEW_v2):

- 10-din: z≈5.15 → very strong (statistically)।

- 20-din: z≈0.23 → कोई evidence नहीं।

- 60-din: z≈1.58 और coef ≈ −0.528 जो OLD-subsampling-range [-0.092, 0.279] से बाहर है → moderate tension with OLD-regime.

- Correlation(x1,x2): 0.20 → 0.42 (moderately high, पर severe multicollinearity नहीं; typically चिंता >0.8 पर होती है)।

आपका qualitative summary (“x1 हमेशा strong, x2 OLD में weak, और NEW_v2 में correlation दोगुना”) संख्याओं के हिसाब से सही है।

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2) “दो कारण साथ” vs “एक ही कारण के दो symptom”

(a) “x2 weak predictor है” और

(b) “NEW_v2 में multicollinearity बढ़ी”

ये theoretically अलग concepts हैं:

- Weak predictor status (x2):

- DGP level पर “true β₂ लगभग zero या बहुत छोटा” होने से आता है।

- इसका symptom: low |z|, high sign-flip %, subsampling में coef ranges जो zero को comfortably cover करते हैं (जैसा आपने OLD में देखा)।

- Multicollinearity (x1–x2 correlation ↑):

- Purely design-matrix property: predictors की आपसी correlation से आता है, न कि β₂ के true value से।

- Effect: SE inflate होते हैं, coefficients unstable हो सकते हैं; signs flip होने की probability बढ़ती है, especially जब signal खुद weak हो।

आपकी case में:

- OLD में x2 weak था और correlation भी केवल 0.20 थी → multicollinearity minimal, weakness असल में low signal की वजह से लगती है।

- NEW_v2 में correlation 0.42 हो गई, यानी moderate multicollinearity add हो गई।

- इसलिए यहाँ “दो अलग factors” हैं, जो मिलकर x2 के estimate को और unstable बनाते हैं; यह “one-cause-two-symptom” नहीं, बल्कि दो independent लेकिन interacting कारण हैं।

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3) x2 को drop करना established-practice के नज़र से सही है?

Hard-deletion vs regularization के lens से देखें:

(i) केवल OLD evidence पर x2 drop करना

- OLD में x2 हर horizon पर non-significant था, पर NEW_v2 में data-generating-process स्पष्ट रूप से shift हुई है (means बदले, correlation दोगुनी, और 10-din पर z=5.15)।

- ऐसे में “OLD में कभी significant नहीं था, इसलिए अब भी बेकार है” कहना valid नहीं है, क्योंकि regime/structure बदल चुकी लगती है।

(ii) Theoretical importance vs p-values

Established econometrics / finance-practice में:

- अगर कोई feature theoretically important है (जैसे कोई well-known risk factor, macro variable, microstructure variable), तो इसे सिर्फ़ OLD-period में insignificance की वजह से तुरंत drop नहीं किया जाता, खासकर जब NEW sample में structural changes दिख रहे हों।

- आमतौर पर:

- Model selection p-values पर नहीं, बल्कि predictive performance + theory + stability diagnostics पर किया जाता है।

(iii) Multicollinearity के साथ typical fix

- Classical fix:

- Ridge/L2 या अन्य regularization → weak but correlated variables के coefficients shrink हो जाते हैं, पर information lose नहीं होती।

- अतः, आपके पहले से चुने हुए “pooled + L2-regularized” workflow के हिसाब से:

- x2 को तुरंत drop करने के बजाय, L2 को allow करने देना कि वो x2 के weight को सीख कर shrink करे, ज़्यादा standard approach है।

(iv) Practically क्या करें?

- दो models compare करें (per horizon और pooled दोनों पर):

1. Full: y ~ x1 + x2

2. Reduced: y ~ x1

- Cross-validated out-of-sample performance (e.g. MSE, log-loss, whichever relevant) देखिए:

- अगर x2 जोड़ने से predictive performance materially improve नहीं होती (या degrade होती है), तब x2 को drop करने का practical justification मजबूत हो जाता है।

- अगर थोड़ा भी stable improvement मिलता है, तो x2 को रखकर L2-regularization से coefficient shrink करना बेहतर माना जाता है।

निचोड़:

- “x2 OLD में कभी significant नहीं था” → अपने-आप में drop करने का पर्याप्त कारण नहीं, क्योंकि NEW_v2 structurally अलग दिख रहा है।

- Established-practice में, theoretically-important, weak, moderately-collinear features को पहले regularization और out-of-sample tests से handle किया जाता है, hard deletion बाद की stage में आता है।

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4) NEW_v2-10din पर x2 का z=5.15: genuine horizon-effect या noise?

आपके numbers indicate:

- 10-din: strong positive/negative (magnitude large, z=5.15)

- 20-din: लगभग zero effect (z=0.23)

- 60-din: moderate (z=1.58), पर OLD-range से बाहर और sign भी अलग (−0.528 vs OLD mostly ≥0 side)।

यह दो तरह से explain हो सकता है:

Case A: Genuine horizon-specific relationship

- कुछ financial/economic processes short-horizon पर strong और long-horizon पर dilute हो जाते हैं (e.g. order-flow, liquidity, intraday mean-reversion effects जो 10-day में दिखते हैं, पर 60-day में wash-out)।

- अगर x2 की theory ऐसे किसी short-horizon mechanism से जुड़ी है, तो सिर्फ 10-din पर strong होना बिल्कुल plausible है।

- इस hypothesis को support करने के लिए यह check करें:

- NEW_v2-10din के अंदर subsampling/bootstrap करके:

- coef_x2 का sign-range और_SIGN-flip% देखें।

- अगर subsamples में भी coef stable और sign-flip% low है, तो यह “genuine horizon-specific effect” की तरफ इशारा करता है।

Case B: Noise + multicollinearity side-effect

- Moderate collinearity (0.42) + regime change + multiple testing (तीन horizons, कई मॉडल) → किसी एक horizon पर large |z| निकल आना purely noisy हो सकता है।

- Symptoms जो इसे support करेंगे:

- NEW_v2-10din के अंदर subsampling पर coef_x2 range wide हो, sign-flip% उच्च हो।

- Slight perturbations (कुछ observations drop, थोड़ा pre-processing change) पर coef और z बहुत बदल जाएँ।

आपके दिए गए डेटा से अकेले यह निर्णायक नहीं कहा जा सकता कि 10-din-effect genuine है या नहीं, पर “एक horizon पर बहुत strong, बाक़ी दो पर weak” → ये उतना alarming नहीं है, बशर्ते 10-din के अंदर stability-tests pass हों और x2 के लिए credible economic story मौजूद हो।

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5) Pooled + L2-regularized model के लिए अब क्या strategy होनी चाहिए?

आपका पहले से chosen workflow (Pooled + L2) conceptually sound है, especially given:

- x1 बहुत strong है,

- x2 overall weak/moderate है,

- correlation moderate (0.42) है, not extreme.

लेकिन इस नई evidence को देखते हुए, practical refinements ये हो सकते हैं:

(i) x2 को तुरंत drop न करें; L2 को काम करने दें

- Ridge-type regularization multicollinearity में canonical remedy है।

- अगर x2 की incremental predictive value small है, L2 उसका coefficient अपने-आप छोटा कर देगा।

- इस तरह आप “information preserve” भी करते हैं और “variance control” भी।

(ii) Horizon-structure को model में explicit बनाना

चूँकि behavior horizon-wise अलग दिख रहा है:

- Option 1 (Pooled, interaction):

- Single pooled model, पर horizon dummies या spline के साथ interact करें:

- y ~ x1 + x2 + H + x1×H + x2×H (ridge/elastic-net के साथ)

- इससे model खुद सीखेगा कि किस horizon पर x2 का coefficient कितना होना चाहिए, साथ में partial pooling होगी।

- Option 2 (Separate models per horizon with shared λ):

- तीन अलग ridge models (10/20/60) fit करें, पर cross-validation shared रखें ताकि regularization-level comparable हो।

(iii) Model comparison: with vs without x2

Established workflow enhancement:

- Ridge(pooled, x1+x2) vs Ridge(pooled, x1-only) को same CV-setup में compare कीजिए:

- अगर x2 जोड़ने से CV-loss में practically कोई फायदा नहीं (difference negligible vs noise), तो “x1-only” model को baseline मानना reasonable हो जाता है।

- अगर खासकर 10-din horizon की predictive accuracy materially improve हो रही है, तो x2 को रखना justified है, भले 20/60 पर weak हो।

(iv) If interpretation of x2 is key

- अगर आपका primary goal “x2 का clean causal / incremental interpretation” है, तो:

- x2 को x1 पर regress करके residual (orthogonalized x2) use करना,

- या Bayesian / hierarchical set-up से partial-pooling,

- या penalized regression with strong shrinkage on x2

जैसे options popular हैं।

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6) संक्षिप्त practical recommendation (आपके numbers के context में)

- x1 को core, always-included predictor मानना सही है।

- x2:

- OLD evidence कहता है: effect बहुत weak था।

- NEW_v2 कहता है: data-structure बदली है; 10-din पर potential strong effect, 20/60 पर weak-to-moderate।

- As per established practice in econometrics / ML:

1. x2 को तुरंत drop न करें;

2. Pooled + L2 (या horizon-wise ridge) में x1 और x2 दोनों रखकर,

3. With-vs-without-x2 models का out-of-sample comparison करें;

4. अगर x2 की predictive gain consistently negligible निकलती है, तभी x1-only simplified model पर switch करना practically justified होगा।

यानी, आपकी “Pooled + L2-regularized” direction fundamentally सही है; नई findings primarily इस बात की तरफ़ इशारा करती हैं कि

- variable-selection पर p-values से ज़्यादा भरोसा न करें,

- horizon-specific behavior और regime-shifts को explicitly ध्यान में रखकर, cross-validated performance और coefficient-stability के आधार पर फैसला लें।

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